Page 12 - İZMİR AKADEMİ DERGİSİ

MAKALE

ğını yaptığı küme teorisine alternatif küme teorileri gelişti-
rilmiştir. Lesniewski’nin (1915) mereology isimli teorisi,
Vopenka’nın (1970) alternatif küme teorisi, Apostoli ve
Kanada’nın (1999) penumbral küme teorisi, Zadeh’in (1965)
Fuzzy Küme Teorisi (L. Zadeh, 1965) sezgisel küme teorisi,
soft küme teorisi ve Pawlak’nin (Z. Pawlak, 1982) kaba
(rough set) kümeleri bu teorilere örnek gösterilebilir. Bu
çalışmada ise yukarıda sözü geçen alternatif kümelerin
başarılı bir örneği olan Pawlak’ın tanımladığı kaba kümeler
tanıtılacaktır.

Küme Kavramı ve Kaba Kümeler
(Rough Set)
Kümeler sadece matematikte değil gündelik yaşantımızda
da önemli bir yer tutar. Kitapların kümesi, insanların kümesi,
MAKALE renklerin kümesi örneklerinde olduğu gibi birçok durumda
kümelerden bahsedilir. Sözlük anlamına göre küme, benzer
özelliklere sahip nesnelerin bir araya gelerek oluşturdukları
MUSTAFA HAKKINDA topluluktur.
Bu tanımda, küme elemanlarının rastgele seçilebilmesi
HER ŞEY VE durumu belirtilmemiştir. Cantor’un ortaya koyduğu küme
teorisinde ise, bir topluluğun küme olabilmesi için o toplu-
luğun ortak özelliğe sahip olması gerekmemekte sadece
KABA KÜMELER kümenin elemanlarının kesin olarak belirlenebilmesi
istenmektedir.
Prof. Dr. Serkan NARLI * Dr. Öğr. Üyesi Ahmet Z. ÖZÇELİK **
Bertrand Russell, Cantor küme teorisini tanıttıktan sonra,
bu teorideki bazı çelişkileri fark etmiştir. Bunların en çok
bilinenlerinden biri kuvvet kümesi çelişkisidir (Russell,
Mustafa genç bir insan mıdır? Bu soru, 33 yaşındaki Musta- 1937). Her şeyi eleman kabul eden en geniş evrensel
fa için talihsiz sorulardan biridir. Ayrıca bu sorunun cevabını kümenin varlığını düşünmek, paradoksa neden olmaktadır.
matematiğin içinde aramak, çoğu matematikçi için anlam- Farz edelim ki bu en geniş evrensel küme X kümesi olsun.
sızdır. Çünkü matematik, kavramlarının kesin olmasını ister Oysa p(x) kuvvet kümesi X den daha geniş bir kümedir.
veya en azından birçok bilim insanı bu durumu böyle kabul p(p(x)) p(x) den; p(p(p(x))) p(p(x)) den; …. Bu durum bizi
eder. Bir başka ifade ile bir kavram kesinlik içeriyorsa mate- çelişkiye götürmektedir.
matikseldir (G. Frege, 1983). Bu çelişki ise, Cantor’un iddia ettiğinin aksine kümelerin
keyfi elemanlardan oluşamayacağı anlamına gelmektedir
Oysa “Mustafa’nın genç olup olmaması” örneğinde
olduğu gibi, gündelik hayat belirsiz kavramlar ile doludur. (Pawlak, 1982). Bu sorunu çözebilmek için Zermello ve
Kusurlu bilgi olarak da adlandırabileceğimiz bu belirsiz Freenkel’in (1904) Aksiyomatik Küme teorisi ve
kavramlar, tarih boyunca insan zihnini meşgul etmiştir. Neumann’ın (1920) Sınıflar Teorisi gibi Cantorun küme
Filozoflar, psikologlar, bilgisayar mühendisleri ve matema- teorisini geliştiren küme teorileri ortaya atılmıştır. Bazı
matematikçiler ise, Cantor’un teorisini geliştirmektense,
tikçiler bu konu ile ilgilenmişlerdir. Kusurlu bilgiyi nasıl
anlayabiliriz? Nasıl formülize edebiliriz? yepyeni küme teorileri oluşturmuşlardır. Giriş kısmında sözü
geçen küme teorileri bu gruba dâhildir.
Günümüzde özellikle yapay zekâ konusunda çalışan bilim
insanları, bu soruların cevaplarını aramaktadır. Bu soruların Klasik küme kavramında kümenin elemanları net olarak
cevapları için ise matematik, yeni alanlara yönelmek zorun- bellidir. Bir başka ifade ile bir eleman bir kümeye ya aittir ya
da kalmıştır. da değildir. Örneğin tek sayılar kümesi, bu türdendir.
Çünkü bir sayı ya tektir ya da değildir. Oysa gündelik hayat-
Bu yeni matematiksel yaklaşımlar, kendini daha çok mate- ta her şey bu kadar kesin çizgilerle ayrılamaz. Filozoflar,
matiğin temel kavramlarından olan küme kavramında tarih boyunca kesin kavramların yanında bu belirsiz kavram-
göstermektedir. Bu amaçla George Cantor’un fikir babalı - larla da uğraşmışlardır.
* Prof.Dr, Dokuz Eylül Üniversi, Buca Eğitim Fakültesi, İlköğretim Matematik Öğretmenliği, serkan.narli@deu.edu.tr
10 ** Dr. Öğr. Üyesi, Dokuz Eylül Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, ahmet.ozcelik@deu.edu.tr